Клочанова Содержание и значение математической символики |
Страница 11 из 11 Такой результат для квадратного уравнения был известен Кардано (в случае положительных корней – еще и раньше); Кардано отметил свойство корней кубического уравнения относительно коэффициента при х2. Но никакого обоснования в общем виде дать он не мог; это сделал Виет для уравнений до пятой степени включительно. Преимущества символики предоставили Виету возможность не только получить новые результаты, но и более полно и обоснованно изложить все известное ранее. И если предшественники Виета высказывали некоторые правила, рецептуры для решений конкретных задач и иллюстрировали их примерами, то Виет дал полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений первых четырех степеней. Рассмотрим ход рассуждений Виета при решении кубического уравнения. Возьмем уравнение x3 + 3ax = 2b. Положим a = t2+ xt. Найдем отсюда х = и подставим в исходное уравнение. Получим + 3a= 2b, откуда для определения t наводим квадратное уравнение относительно t3: (t3)2 + 2bt3 – а3 == 0. Отсюда определится t, а затем и х. Заметим еще, что подстановка а = t2 + xt приводит исходное уравнение к виду (х + t)3 – t3 = 2b, которое вместе с уравнением (х + t)t = a, (х + t)3t3 = a3 дало бы возможность применить метод Тартальи и дель Ферро. Но Виет таким путем не пошел. Рассмотрим теперь пример. Найдем методом Виета действительный корень уравнения х3 + 24x=56. Здесь а=8, b=28. Запишем уравнение относительно t: (t3)2 + 56t3 - 83 - 0. Решим его: t3= –28 = – 2836 t1 = = 2 t2 = = –4. Найдем теперь х: x1 = = –2 , x2 = = 2 = x1. При изложении метода Феррари для решения уравнения четвертой степени Виет провел аналитически выкладки, указанные выше, и получил уравнение, содержащее основную неизвестную А и вспомогательную Е (х и t у Феррари). Виет, верный последователь древних, оперировал только рациональными положительными числами, которые он обозначал буквами. Если в результате подстановки в уравнение значений параметров неизвестное оказывалось иррациональным, он давал этому случаю особое обоснование. В качестве примера такого обоснования приведем «геометрическое» решение кубического уравнения по способу дель Ферро – Тартальи. В записи Виета уравнение имело вид A3 + 3BA = D. Известное решение: А является разностью «сторон» которые образуют площадь В и разность кубов которых равна D. Если обозначить «стороны» буквами u и v, то uv = B, u3 – u3 =D, A= u –v. Виет придавал решению «геометрическое» толкование; он вместо D solidum записывал произведение В planum на D, т. е. получал уравнение A3 + 3ВA= BD. Затем он определял четыре величины, образующие «геометрический ряд», так, чтобы прямоугольник, построенный на средних или на крайних, по площади равнялся В, а разность крайних была D. Тогда A будет разностью средних. Поясним сказанное. Обозначим эти четыре величины через z, u, v и t. Тогда можно записать z:u = u:v = v:t, zt = uv = B, z – t = D, A = u – v. Если в решении Тартальи D заменить на BD, то оба решения совпадут. Способ Виета означает замену кубического корня двумя средними геометрическими, что полностью соответствует духу древних греков. Из получившихся пропорций найдем u3 = z2t, v3 = zt u3 – v3 = zt(z – t) = BD |
|||||||||||||
| « Пред. | След. » |
|---|
|
|